En introduktion till Functional Analysis

September 28

Funktionsanalys är ett område av matematiken som är studiet av vektorer, vektorrum och deras verksamhet. I huvudsak, enligt matematiska Atlas, är det en undersökning av oändlig-dimensionella vektorrum inom en viss struktur (t.ex. metriska eller ringstruktur). Differentialekvationer och andra vektoranalys begrepp används i stor utsträckning i studier av funktionell analys.

Fakta

En riktig vektorrum är en uppsättning element som har två operationer, addition och skalär multiplikation. En metriskt rum är en uppsättning med en metrisk och studiet av metriska rum kallas topologi. Funktionsanalys är en avancerad nivå av matematisk analys och har över med många andra typer av matematik, inklusive differentialekvationer, matematisk fysik, numerisk analys, signalbehandling, komplex och verklig analys, geometri, operatörs algebra, topologi och sannolikhet.

Historia

Termen funktionell analys först dök upp i 1922, i titeln på Paul Levys Leçons de l'analysera fonctionelle. Sedan dess har begreppet funktionell analys har använts för att beskriva funktions utrymmen (i synnerhet Banach och Hilbertrum). Denna idé beror till stor del av arbetet i en produktiv tysk matematiker vid namn David Hilbert som gjorde många viktiga bidrag till området i början till mitten av nittonhundratalet, enligt tidigaste kända användningsområden.

Funktioner

Framför allt är funktionsanalys ofta som studiet av kompletta normerat rum. Dessa vektorrum spänner över både reella och komplexa tal och är formellt kallas Banachrum. En Hilbertrum (uppkallat efter David Hilbert) är ett exempel på en Banach utrymme och det är en plats vars inre produkt skapar en norm. Funktionell analys normalt införes via studiet av linjära och normerad utrymmen och följdes av begreppen Hilbertrum och linjära funktionaler. Detta följs sedan av begreppet dubbla Banachrum, Hahn-Banach teori, avgränsas linjära operatörer (liksom kompakta operatörer, dubbla operatörer och inverterbara operatörer) och slutligen de många aspekterna av spektralteori.

Fungera

Begreppet Banach och Hilbertrum är av stor betydelse för ren matematik eftersom de är grundläggande för förståelsen av kvantmekanik och andra områden av fysiken. Vidare skall enligt Functional Analysis: An Introduction, är den viktigaste rollen av funktionell analys för att vidareutveckla matematiskt språk för att förstå världen omkring oss. Nittonhundratalet matematik nästan helt baserad på funktionell analys eftersom det är studiet av "verksamhet" och deras "spektrum."

tillämpningar

Funktionell analys har många tillämpningar. Enligt Mathematical Atlas, dessa inkluderar modeller av grenrör på topologiska linjära rum, allmän topologi (såsom topologiskt vektorrum) och metriska rum (såsom normerat rum, distans funktioner och inre produkterna).


        

Välkommen till dig för att skicka en kommentar:

            
            
            
            

© 2022 Astrixsoft.com | Contact us: webmaster# astrixsoft.com